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FRM考点干货：Black-Scholes期权定价模型

来源： FRM 2018-01-29

　　Black-Scholes期权定价模型是FRM一级考试中较为重要的考点。计算题中，经常会考到BS定价公式，因此FRM考生们要熟记这个知识点。不过，由于期权定价受多种因素影响，期权价格的决定非常复杂，考生对于期权定价的其他知识只需了解即可。接下来，FRM君就给大家梳理一下Black-Scholes期权定价模型的相关考点内容。

　　期权定价模型由布莱克与斯科尔斯在20世纪70年代提出（Black-Scholes-Merton Option Pricing Model）。该模型认为，只有股价的当前值与未来的预测有关；变量过去的历史与演变方式与未来的预测不相关。模型表明，期权价格的决定非常复杂，合约期限、股票现价、无风险资产的利率水平以及交割价格等都会影响期权价格。

　　期权定价模型基于对冲证券组合的思想。投资者可建立期权与其标的股票的组合来保证确定报酬。在均衡时，此确定报酬必须得到无风险利率。期权的这一定价思想与无套利定价的思想是一致的。所谓无套利定价就是说任何零投入的投资只能得到零回报，任何非零投入的投资，只能得到与该项投资的风险所对应的平均回报，而不能获得超额回报（超过与风险相当的报酬的利润）。从Black-Scholes期权定价模型的推导中，不难看出期权定价本质上就是无套利定价。

　　B-S-M模型假设

　　1、股票价格随机波动并服从对数正态分布；

　　2、在期权有效期内，无风险利率和股票资产期望收益变量和价格波动率是恒定的；

　　3、市场无摩擦，即不存在税收和交易成本；

　　4、股票资产在期权有效期内不支付红利及其它所得(该假设可以被放弃)；

　　5、该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施；

　　6、金融市场不存在无风险套利机会；

　　7、金融资产的交易可以是连续进行的；

　　8、可以运用全部的金融资产所得进行卖空操作。

　　B-S-M定价公式

　　C=S·N(d1)-X·exp(-r·T)·N(d2)

　　其中:

　　d1=[ln(S/X)+(r+σ^2/2)T]/(σ√T)

　　d2=d1-σ·√T

　　C—期权初始合理价格

　　X—期权执行价格

　　S—所交易金融资产现价

　　T—期权有效期

　　r—连续复利计无风险利率

　　σ—股票连续复利（对数）回报率的年度波动率（标准差）

　　N(d1)，N(d2）—正态分布变量的累积概率分布函数，在此应当说明两点：

　　*9，该模型中无风险利率必须是连续复利形式。一个简单的或不连续的无风险利率(设为r0)一般是一年计息一次，而r要求为连续复利利率。r0必须转化为r方能代入上式计算。两者换算关系为：r=LN(1+r0)或r0=exp(r)-1例如r0=0.06，则r=LN(1+0.06)=0.0583，即100以583%的连续复利投资第二年将获106，该结果与直接用r0=0.06计算的答案一致。

　　第二，期权有效期T的相对数表示，即期权有效天数与一年365天的比值。如果期权有效期为100天，则T=100/365=0.274。

　　B-S-M模型的推导

　　B-S-M模型的推导是由看涨期权入手的，对于一项看涨期权，其到期的期值是:

　　E[G]=E[max(ST-L，O)]

　　其中，

　　E[G]—看涨期权到期期望值

　　ST—到期所交易金融资产的市场价值

　　L—期权交割(实施)价

　　到期有两种可能情况:

　　1、如果ST>L，则期权实施以进帐(In-the-money)生效，且mAx(ST-L，O)=ST-L

　　2、如果ST<L，则期权所有人放弃购买权力，期权以出帐(Out-of-the-money)失效，且有:

　　max(ST-L，O)=0

　　从而：

　　E[CT]=P×(E[ST|ST>L)-L)+(1-P)×O=P×(E[ST|ST>L]-L)

　　其中：P—(ST>L)的概率E[ST|ST>L]—既定(ST>L)下ST的期望值将E[G]按有效期无风险连续复利rT贴现，得期权初始合理价格:

　　C=P×E-rT×(E[ST|ST>L]-L)(*)这样期权定价转化为确定P和E[ST|ST>L]。

　　首先，对收益进行定义。与利率一致，收益为金融资产期权交割日市场价格(ST)与现价(S)比值的对数值，即收益=1NSTS。由假设1收益服从对数正态分布，即1NSTS～N(μT，σT2)，所以E[1N(STS]=μT，STS～EN(μT，σT2)可以证明，相对价格期望值大于EμT，为:E[STS]=EμT+σT22=EμT+σ2T2=EγT从而，μT=T(γ-σ22)，且有σT=σT

　　其次，求(ST>L)的概率P，也即求收益大于(LS)的概率。已知正态分布有性质：Pr06[ζ>χ]=1-N(χ-μσ)其中:ζ—正态分布随机变量χ—关键值μ—ζ的期望值σ—ζ的标准差。所以：P=Pr06[ST>1]=Pr06[1NSTS]>1NLS]=1N-1NLS2)TTNC4由对称性:1-N(D)=N(-D)P=N1NSL+(γ-σ22)TσTArS第三，求既定ST>L下ST的期望值。因为E[ST|ST]>L]处于正态分布的L到∞范围，所以，E[ST|ST]>=S·EγT·N(D1)N(D2)

　　其中：D1=LNSL+(γ+σ22)TσTD2=LNSL+(γ-σ22)TσT=D1-σT

　　最后，将P、E[ST|ST]>L]代入(*)式整理得B-S定价模型:C=S·N(D1)-L·E-γT·N(D2)

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