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FRM考试辅导：套利定价理论

来源：高顿网校 2014-02-21

　　CAPM起源于一个单因子模型。这可以推广到多因子的情形。*9步是建立一个风险结构，假设资产收益率的变动归因于多种风险来源。

　　例如，在股票市场，小型公司的行为和大型公司不一样。这可能是市场因子以外的第二个因子。其他可能的因子是能源价格、利率等等。假设有K个风险因子，公式演变为：

　　Ri=αi+βi1y1+···+βikyk+εi

　　这里假设残差项ε和结构中的各因子以及彼此之间不相关。

　　例如，考虑只有一个因子的最简单的情况。我们有三只股票，A、B和C，贝塔值分别为0.5、1.0和1.5。现在假设它们的期望收益率为6%、8%和12%。然后我们可以建立一个由50%A多头头寸、50%C多头头寸和100%B空头头寸组成的投资组合。投资组合的贝塔值为50% x 0.5 + 50% x 1.5 - 100% x 1.0=0。这个投资组合没有初始投资，也没有风险，因此期望收益为0。计算期望收益得到：50% x 6% + 50% x 12% - 100% x 8%=1%。这将产生套利机会，必须被消除。这三个收益率和APT不一致。从A到C，我们有RF=3%和λk=6%。因此，利用公式，B的APT期望收益率应当为E[Ri]=3% + 1.0 x 6%=9%。

　　注意到APT期望收益率在单因子的情况下非常类似于CAPM，公式E[Ri]。然而，两者的解释却完全不同。APT不依赖于均衡但是简单地基于资本市场没有套利机会的假设，这是非常弱的要求。它甚至都不需要因子模型来保持严格成立。它只要求残差风险非常小。这种情形一定存在于拥有足够多的一般因子以及完全分散化的投资组合中，这也被称为高度分散（highly granular）。

　　APT模型不需要对市场因子进行确定，这是它比较先进的地方。不幸的是，模型的检验是模棱两可的，因为APT理论没有给出因子应该是什么的信息。

　　一些选择因子的方法是可行的。*9，结构化方法是从经济机构和实务中广泛选取因子。例如，价值、规模和被广泛应用于解释股票期望收益率的矩。第二是从观测数据中选取因子的统计方法。例如，主成分分析（principal component analysis，PCA）是一项提供资产收益率相关系数矩阵*3拟合的技术。*9个PC是提供对角矩阵*3近似的资产收益率的线性组合。第二个PC是与*9个PC垂直正交并且提供对角矩阵*3近似的资产收益率的线性组合。这个分析可以一直进行下去直到剩下的因子不在显著。

　　这些方法对风险管理非常重要，特别当遇到大量计算时，例如一个大型投资组合。例如，一个风险经理可能大约10个风险因子来减少由100只股票组成的投资组合的维度。这种降维对蒙特卡洛模拟特别重要，因为它减少了计算时间。

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