新大纲！中国地质大学(北京)2026年硕士研究生入学考试《高等代数（821）》考试大纲与参考书目的公告

考试性质

本门课程考试的内容包括行列式、矩阵、线性方程组、多项式理论、二次型、线性变换和线性空间等。要求考生全面系统地理解高等代数的基本概念和基本理论，熟练掌握高等代数的基本思想和基本方法，评价标准是使高校优秀本科毕业生能达到及格或及格以上水平。  

考试方式和考试时间

1. 答卷方式：闭卷、笔试

2. 答卷时间：180分钟  

试卷结构

满分150分，题型为填空题、选择题、计算题、证明题。  

考试内容和考试要求

考查要点

1. 多项式

一元多项式环；带余除法；整除；最大公因式；辗转相除法；互素的充要条件；不可约多项式；因式分解的唯一性和标准分解式；重因式；多项式函数；根、重根；复(实)系数多项式的因式分解；代数基本定理；有理系数多项式的有理根；艾森斯坦因判别法。

2. 行列式

排列；行列式定义、性质和计算；按行展开和拉普拉斯展开定理；克莱姆法则。

3. 线性方程组

n维向量空间；向量组的线性相关性及其基本性质；极大线性无关组；秩；线性方程组有解的判别定理；线性方程组解的结构、基础解系、解空间、求解的方法。

4. 矩阵

矩阵的运算及性质；矩阵的秩；矩阵的初等变换与初等矩阵；矩阵在初等变换下的标准形；矩阵的逆、伴随阵、线性方程组的矩阵形式；行列式乘积定理；分块矩阵；

分块矩阵运算；矩阵的迹、方阵的多项式。

5. 二次型

二次型的矩阵表示；二次型的标准形与合同变换；复数域与实数域上二次型的标准形、规范形；惯性定理；实二次型、实对称矩阵正定的充分必要条件。

6. 线性空间

线性空间的概念；一些重要的线性空间实例；基、维数与坐标；基变换与坐标变换。

7. 线性变换

线性映射与线性变换的概念、运算；线性变换的矩阵表示；线性变换（矩阵）的特征多项式、特征值与特征向量；线性变换的值域与核；特征子空间；线性变换的不变子空间；线性变换的矩阵为对角矩阵的充要条件。

8. λ-矩阵

λ-矩阵在初等变换下的标准形；不变因子；行列式因子；矩阵相似的条件；数字矩阵或线性变换的不变因子、初等因子、Jordan标准形。

9. 欧几里得空间

向量内积；欧氏空间的概念及性质；度量矩阵；向量的长度、夹角、正交、距离；标准正交基；欧氏空间的子空间的正交补；欧氏空间的同构；正交变换与正交矩阵的等价条件；对称变换的概念与性质；用正交变换化实对称矩阵为对角阵的方法。

参考书目

《高等代数》（第五版），北京大学数学系前代数小组编，王萼芳、石生明修订，高等教育出版社，2019。

备注