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插值法原理

来源： 高顿网校 2014-06-18
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　　插值法又称“内插法”，是利用函数f (x)在某区间中插入若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值，这种方法称为插值法。如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。
　　插值法原理
　　数学内插法即“直线插入法”。其原理是，若A(i1,b1),B(i2,b2)为两点，则点P(i,b)在上述两点确定的直线上。而工程上常用的为i在i1,i2之间，从而P在点A、B之间，故称“直线内插法”。
　　数学内插法说明点P反映的变量遵循直线AB反映的线性关系。
　　上述公式易得。A、B、P三点共线，则
　　(b-b1)/(i-i1)=(b2-b1)/(i2-i1)=直线斜率，变换即得所求。
　　插值法实例
　　例1 已知f(x)=ln(x)的函数表为：
　　试用线性插值和抛物线插值分别计算f(3.27)的近似值并估计相应的误差。
　　解：线性插值需要两个节点，内插比外插好因为3.27 (3.2，3.3)，故选x0=3.2，x1=3.3，由n=1的lagrange插值公式，有所以有,为保证内插对抛物线插值，选取三个节点为x0=3.2,x1=3.3,x2=3.4,由n=2的lagrange插值公式有故有
　　所以线性插值计算ln3.27的误差估计为
　　故抛物线插值计算ln3.27的误差估计为：
　　显然抛物线插值比线性插值精确。

 
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