英同学
考研数学此题，由复合函数的求导法则为何就得出这么多关于偏导的式子 ？
这个由复合函数的求导法则，它怎么就得出这么多关于偏导的式子
来自 英同学 的提问
2021-06-23 16:24:35 阅读725
英同学：
题目里的等式有这些偏导，所以你要求这些偏导
英同学：
我知道要求这些偏导，但这些偏导为什么和后边的等啊，可以把这道题详细说一下嘛，后边的我也没太明白
展开英同学：
如图
英同学：
没明白，像第一个u对x求偏导，不应该是du/dr×r对x的偏导吗
展开英同学：
是的呀
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其他回答
王同学
复合函数求导公式推导
陈老师
假设我们要求f(g(x))对x的导数，且f(g(x))和g(x)均可导。
首先，根据定义：当h->0时，专g'(x)=lim(g(x+h)-g(x))/h，所以，当属h->0时，lim(g(x+h)-g(x))/h-g'(x)->0
设v=(g(x+h)-g(x))/h-g'(x)
就有：g(x+h)=g(x)+(g'(x)+v)h
同理：f(y+k)=f(y)+(f'(y)+u)k
所以，f(g(x)+[g'(x) + v]h)=f(g(x))+[f'(g(x))+v][g'(x)+v]h （其实就是y=g(x)k=[g'(x) + v]h）
所以，(f(g(x+h))-f(g(x)))/h=(f(g(x))+[f'(g(x))+u]·[g'(x)+v]h−f(g(x)))/h
=[f'(g(x))+u]·[g'(x)+v]
当h->0时，u和v都->0，这个容易看。
所以当h->0时，(f(g(x+h))-f(g(x)))/h=[f'(g(x))+0]·[g'(x)+0]
=f'(g(x))·g'(x)
然后f'(g(x))=f'(g(x))·g'(x)
证毕
首先，根据定义：当h->0时，专g'(x)=lim(g(x+h)-g(x))/h，所以，当属h->0时，lim(g(x+h)-g(x))/h-g'(x)->0
设v=(g(x+h)-g(x))/h-g'(x)
就有：g(x+h)=g(x)+(g'(x)+v)h
同理：f(y+k)=f(y)+(f'(y)+u)k
所以，f(g(x)+[g'(x) + v]h)=f(g(x))+[f'(g(x))+v][g'(x)+v]h （其实就是y=g(x)k=[g'(x) + v]h）
所以，(f(g(x+h))-f(g(x)))/h=(f(g(x))+[f'(g(x))+u]·[g'(x)+v]h−f(g(x)))/h
=[f'(g(x))+u]·[g'(x)+v]
当h->0时，u和v都->0，这个容易看。
所以当h->0时，(f(g(x+h))-f(g(x)))/h=[f'(g(x))+0]·[g'(x)+0]
=f'(g(x))·g'(x)
然后f'(g(x))=f'(g(x))·g'(x)
证毕
黄同学
复合函数导数求导
王老师
求导的方法
（1）求函数y=f(x)在x0处导数的步骤：
① 求函数的增量δy=f(x0+δx)-f(x0)
② 求平均变化率
③ 取极限，得导数。
（2）几种常见函数的导数公式：
① c=0(c为常数)；
② (x^n)=nx^(n-1) (n∈q)；
③ (sinx)=cosx；
④ (cosx)=-sinx；
⑤ (e^x)=e^x；
⑥ (a^x)=a^xina （ln为自然对数）
7 loga(x)=(1/x)loga(e)
（3）导数的四则运算法则：
①(u±v)=u±v
②(uv)=uv+uv
③(u/v)=(uv-uv)/ v^2
④[u(v)]=[u(v)]v （u(v)为复合函数f[g(x)]）
（4）复合函数的导数
复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数--称为链式法则。
导数是微积分的一个重要的支柱！
（1）求函数y=f(x)在x0处导数的步骤：
① 求函数的增量δy=f(x0+δx)-f(x0)
② 求平均变化率
③ 取极限，得导数。
（2）几种常见函数的导数公式：
① c=0(c为常数)；
② (x^n)=nx^(n-1) (n∈q)；
③ (sinx)=cosx；
④ (cosx)=-sinx；
⑤ (e^x)=e^x；
⑥ (a^x)=a^xina （ln为自然对数）
7 loga(x)=(1/x)loga(e)
（3）导数的四则运算法则：
①(u±v)=u±v
②(uv)=uv+uv
③(u/v)=(uv-uv)/ v^2
④[u(v)]=[u(v)]v （u(v)为复合函数f[g(x)]）
（4）复合函数的导数
复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数--称为链式法则。
导数是微积分的一个重要的支柱！
叶同学
复合函数的导数怎么求？
吴老师
总的公式f'[g(x)]=f'(g)×g'(x)
比如说：求ln(x+2)的导函数
[ln(x+2)]'=[1/(x+2)] 【注：此时将(x+2)看成一个整体的未知数x'】 ×1【注：1即为（x+2)的导数】
主要方法：先对该函数进行分解，分解成简单函数，然后对各个简单函数求导，最后将求导后的结果相乘，并将中间变量还原为对应的自变量。
比如说：求ln(x+2)的导函数
[ln(x+2)]'=[1/(x+2)] 【注：此时将(x+2)看成一个整体的未知数x'】 ×1【注：1即为（x+2)的导数】
主要方法：先对该函数进行分解，分解成简单函数，然后对各个简单函数求导，最后将求导后的结果相乘，并将中间变量还原为对应的自变量。
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