本金是a，第一年后是a（1+k），第二年是a（1+k）（1+k）
所以每年的本金数是一个等比数列，首相是a（1+k），公比是1+k
所以n年后钱数为
sn=a（1+k）[1-（1+k）^n]/[1-（1+k)]
=a（1+k）[1-（1+k）^n]/-k
=a（1+k）[（1+k）^n-1]/k
此时减去本金，即为利息
所以利息=a（1+k）[（1+k）^n-1]/k-a

久期，也可以翻译为麦考利持续时间。是由到期收益率的定义推导出来的。到期收益率公式知道吧，等式两边分别对到期收益率y求导，再在等式两边同除以价格p，就将其中一部分定义为d久期。
久期是一种测算债券发生现金流的平均期限的方法，可以用于测度债券对利率变化的敏感性。
弗雷得里克.麦考利根据债券的每次息票利息和本金支付时间的的加权平均来计算久期，称为麦考利久期
(macaulay's duration)。具体的计算将每次债券现金流的现值除以债券价格得到每一期现金支付的权重，并将每一次现金流的时间同对应的权重相乘最终合计出整个债券的久期。
久期是固定收入资产组合管理的关键概念有以下几个原因：
1、它是对资产组合实际平均期限的一个简单概括统计。
2、它被看做是资产组合免疫与利率风险的重要工具。
3、是资产组合利率敏感性的一个测度，久期相等的资产对于利率波动的敏感性一致。
到期时间、息票率、到期收益率是决定债券价格的关键因素，与久期存在以下的关系：
1、零息票债券的久期等于到它的到期时间。
2、到期日不变债券的久期随息票据利率的降低而延长。
3、息票据利率不变债券的久期随到期时间的增加而增加。
4、其他因素不变债券的到期收益率较低时息票债券的久期较长。
麦考利久期定理：关于麦考利久期与债券的期限之间的关系存在以下6个定理：定理1：只有贴现债券的麦考利久期等于它们的到期时间。定理2：直接债券的麦考利久期小于或等于它们的到期时间。只有仅剩最后一期就要期满的直接债券的麦考利久期等于它们的到期时间，并等于1。定理3：统一公债的麦考利久期等于（1+1/r），其中r是计算现值采用的贴现率。定理4：在到期时间相同的条件下，息票率越高，久期越短。定理5：在息票率不变的条件下，到期时期越长，久期一般也越长。定理6：在其他条件不变的情况下，债券的到期收益率越低，久期越长。

两边取对数即可，实际上在n大于3时，右边的公式更为实用，因为高次开方比较难，除非你用计算机或计算器，这两个公式是一样的，只是数学表达式的形式不同

^e^(2/n) /e^(1/n)=e^(2/n -1/n)=e^(1/n)，比值与n的取值有关，不是定值，因此数列不是等比数列。所以本题不能用等比数列求和公式，用的话就是错的。
推导过程：
e^(1/n)+e^(2/n)+...+e^(n/n)
=[e^(1/n)][1+e^(1/n)+e^(2/n)+...+e^[(n-1)/n] ]
=[e^(1/n)][e^(1/n)+e^(2/n)+...+e^(n/n) +1 -e]
=[e^(1/n)][e^(1/n)+e^(2/n)+...+e^(n/n)]+(1-e)e^(1/n)
[1-e^(1/n)][e^(1/n)+e^(2/n)+...+e^(n/n)]=(1-e)e^(1/n)
e^(1/n)+e^(2/n)+...+e^(n/n)=[(1-e)e^(1/n)]/[1-e^(1/n)]