：同学
考研数学第25题，分块矩阵前为什么不用（-1）^（m+n)？
第25题，分块矩阵前为什么不用（-1）^（m+n)？什么时候是要用到这个呀？
来自 ：同学 的提问
2021-12-15 12:54:22 阅读748
：同学：
这里是主对角线，副对角线式才需要用。
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晏同学
若a是n阶矩阵则|a|=|a|的(n-1)次方
曹老师
1，a乘a=｜a｜乘e，e是n阶单位阵
2，两边取模，得到：｜a｜｜a｜=｜｜a｜e｜
而｜｜a｜e｜=｜a｜的n次方（e是n阶阵，｜a｜是一个数，用到数和矩阵乘积的模的计算公式）
3，两边约掉一个｜a｜，就得到你想要的结果了。
（你原来不理解可能是因为第三步的运算吧，知道了应该就容易理解了）
2，两边取模，得到：｜a｜｜a｜=｜｜a｜e｜
而｜｜a｜e｜=｜a｜的n次方（e是n阶阵，｜a｜是一个数，用到数和矩阵乘积的模的计算公式）
3，两边约掉一个｜a｜，就得到你想要的结果了。
（你原来不理解可能是因为第三步的运算吧，知道了应该就容易理解了）
苒同学
为什么以范德蒙矩阵为系数矩阵的方程组为病态方程组
冯老师
虽然范德蒙矩阵a的行列式可以求出来，并且发现只要x_i互不相同，它的行列式就不是0，但是它的条件数实际上是非常大的。条件数的定义是
cond(a) = ||a||||a^{-1}||
其中范数||||为某种矩阵范数。即使一个矩阵可逆，但如果条件数很大对应的方程组就是病态的。所谓”病态“可以理解为方程组对右端项误差的敏感程度，比如 ax = b，如果b变化一点，对应的x变化非常大，就说这个方程组是病态的。著名的hilbert矩阵也是条件数很大的矩阵。
从另一个方面看，假设我们知道一个n-1次多项式 f(x) = \sum a_i x^i
在x_i (i=1...n)点的函数值f_i，那么求解这个多项式的系数a_i对应的矩阵就是范得蒙矩阵。数值分析中发现这个问题n大于8时就非常不稳定了，可以从另一个方面解释这个问题。
cond(a) = ||a||||a^{-1}||
其中范数||||为某种矩阵范数。即使一个矩阵可逆，但如果条件数很大对应的方程组就是病态的。所谓”病态“可以理解为方程组对右端项误差的敏感程度，比如 ax = b，如果b变化一点，对应的x变化非常大，就说这个方程组是病态的。著名的hilbert矩阵也是条件数很大的矩阵。
从另一个方面看，假设我们知道一个n-1次多项式 f(x) = \sum a_i x^i
在x_i (i=1...n)点的函数值f_i，那么求解这个多项式的系数a_i对应的矩阵就是范得蒙矩阵。数值分析中发现这个问题n大于8时就非常不稳定了，可以从另一个方面解释这个问题。
吴同学
分步计数原理中公式：c上标n下标m=m(m-1)......(m-n+1)/n是怎么推出来
张老师
你说的是组合公式了
组合公式可以由排列公式得到排列公式可以由乘法原理得到.
根据乘法原理
从m个互不相同的球中每次拿出1个不放回共取n个考虑顺序的话可以有多少中不同的取法呢
取第一个m种取法
取第二个(m-1)种取法
...
取第n个(m-n+1)种取法.
总共a[mn]=m(m-1)......(m-n+1)种不同取法.
取完之后有人通过了其它的办法最终也取出了这n个球
总共有多少种不同的取法呢
取第一个n种取法
取第二个(n-1)种取法
...
取第n个1种取法.
总共n种不同取法可以得到相同的结果.
所以如果不考虑过程的话
总共a[mn]=m(m-1)......(m-n+1)种不同方式
每n中不同过程可以得到1种结果
总共可以得到c[mn]=m(m-1)......(m-n+1)/n种不同结果.
组合公式可以由排列公式得到排列公式可以由乘法原理得到.
根据乘法原理
从m个互不相同的球中每次拿出1个不放回共取n个考虑顺序的话可以有多少中不同的取法呢
取第一个m种取法
取第二个(m-1)种取法
...
取第n个(m-n+1)种取法.
总共a[mn]=m(m-1)......(m-n+1)种不同取法.
取完之后有人通过了其它的办法最终也取出了这n个球
总共有多少种不同的取法呢
取第一个n种取法
取第二个(n-1)种取法
...
取第n个1种取法.
总共n种不同取法可以得到相同的结果.
所以如果不考虑过程的话
总共a[mn]=m(m-1)......(m-n+1)种不同方式
每n中不同过程可以得到1种结果
总共可以得到c[mn]=m(m-1)......(m-n+1)/n种不同结果.
毛同学
如果一个矩阵和它的转置相乘为单位矩阵，这个矩阵是什么矩阵？
杜老师
正交矩阵。当然，仅仅是指方阵而言。
正交矩阵的特点：行列式的绝对值是1，行和列都是与矩阵阶数相同维数的向量空间的标准正交基，作为线性变换不改变长度和内积，等等。
正交矩阵的特点：行列式的绝对值是1，行和列都是与矩阵阶数相同维数的向量空间的标准正交基，作为线性变换不改变长度和内积，等等。
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