学习过线性代数的同学，在学习到矩阵运算这一节的时候，一定看到过这个矩阵乘法的运算规则：
1、如何解线性方程组
解线性方程组，是我们从初中就学过的知识：
【例】：解三元一次方程组

2、如何用矩阵初等行变换的方法解线性方程组
在计算中，我们发现：这样的符号，在计算中完全可以省略，只要计算的时候，把每个未知数的系数位置明确即可。所以，以后这样的方程组之间的运算，就用矩阵的初等行变换来代替了：
矩阵第一行4个元素，从左到右依次表示第一个方程3个未知数的系数和等号右边的2。其他行也同理。（虚线只是方便区分系数和等号右边的数字，没有实际意义）
而我们前面解方程的过程，也简化为了对矩阵做初等行变换的过程：
经过一系列的初等行变换之后，矩阵变成了这样：
方程组自然就解出来了。
到这一步，你可能觉得已经很完美了，但是数学家觉得，这种方法还是不够简洁。
3、用矩阵记录初等行变换的过程
仔细观察矩阵初等行变换的过程：我们发现，把某行加到某行，把某行乘某个数，这些带有规则数字的内容，其实也可以表示为一个矩阵！
比如：
我们把这三串数字，按照顺序：对第1行的变换过程记录，就写在第1行，第2行的变换过程记录，就写在第2行：
这个拼出来的矩阵，里面记录了上一次初等行变换的信息。
现在我们开始定义矩阵的乘法了：
这个过程，现在就写成了（刚才那个记录变换过程的矩阵被放在了原矩阵的左边）：
这样矩阵乘法的计算规则就很自然的被定义出来了。
为了表述方便，我们把这个乘法简记为：
4、解方程组，需要若干次初等行变换
这样一来，一个复杂的解方程组过程，用三个字母和一个等号简洁的表示出来了。
感兴趣的同学可以验算一下：
因为这里面是很多个初等行变换乘在一起的运算了，这个运算就不初等了。我们就只管他叫行变换好了。
当然，线性代数这门学科发展到今天，矩阵乘法的意义已经远远超出了解方程组这样简单的运用范畴了。如果单纯的考虑这样的矩阵乘法，我们发现，只要的列数和的行数相同，矩阵乘法就可以顺利的进行下去。
5、重点：不可以随意交换乘法的顺序
总结
聪明的你已经发现了：我们文章开头的那个看起来莫名其妙的求和项，只不过是把每一行的整体运算，拆解成了每个元素单独的运算：

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