小同学
这道考研数学题不是很明白，拉姆达an收敛为什么原级数收敛？
老师你好 这道题我不是很明白 拉姆达an收敛 为什么原级数收敛啊 n可以和tan里面的n约掉吗
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来自 小同学 的提问
2021-05-20 18:50:19 阅读415
小同学：
如图
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其他回答
王同学
判断广义积分的敛散性，若收敛，计算其值
A老师
∫arctanx/x²dx
=∫arctanxd（-1/x）
=-arctanx/x+∫（1，+∞）dx/（x（1+x²））
=-arctanx/x+∫（1/x-x/（1+x²））dx
=-arctanx/x+ln|x|-1ǘln（1+x²）+c
所以原积分=[-arctanx/x+ln|x|-1ǘln（1+x²）](1，+∞)=πǚ+1ǘln2
=∫arctanxd（-1/x）
=-arctanx/x+∫（1，+∞）dx/（x（1+x²））
=-arctanx/x+∫（1/x-x/（1+x²））dx
=-arctanx/x+ln|x|-1ǘln（1+x²）+c
所以原积分=[-arctanx/x+ln|x|-1ǘln（1+x²）](1，+∞)=πǚ+1ǘln2
姝同学
判断下列反常积分的收敛性，如果收敛，计算反常积分的值
邵老师
(1)小题。原式=-∫(01)d[√(1-x²)]=-√(1-x²)丨(x=01)=1。收敛。
(2)小题。原式=∫(1e)d(lnx)/√(1-ln²x)]=arcsin(lnx)丨(x=1e)=πǘ。收敛。
(3)小题。原式=∫(-∞0)(丨x丨+x)e^(-丨x丨)]dx+∫(0∞)(丨x丨+x)e^(-丨x丨)]dx。
而，x∈(-∞0)时，丨x丨=-x、x∈(0∞)时，丨x丨=x，∴原式=2∫(0∞)xe^(-x)dx=2。收敛。
供参考。
(2)小题。原式=∫(1e)d(lnx)/√(1-ln²x)]=arcsin(lnx)丨(x=1e)=πǘ。收敛。
(3)小题。原式=∫(-∞0)(丨x丨+x)e^(-丨x丨)]dx+∫(0∞)(丨x丨+x)e^(-丨x丨)]dx。
而，x∈(-∞0)时，丨x丨=-x、x∈(0∞)时，丨x丨=x，∴原式=2∫(0∞)xe^(-x)dx=2。收敛。
供参考。
s同学
求级数sinn/n和cosn/n的敛散性，简要说下步骤。谢谢
赵老师
用积化和差公式，|2sin1/2(sin1+sin2+...+sinn)|=|cos1/2-cos(2n+1)/2|，因此|sin1+...+sinn|<=1/sin1/2，部分和有界，1/n单调递减趋于0，dirichlet判别法收敛。|2sin1/2(cos1+cos2+...+cosn)|=|sin1/2-sin(2n+1)/2|。类似可得收敛。
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