上下限看不清楚，先做不定积分吧
∫ ln(1 + x)/(2 - x)² dx
= - ∫ ln(1 + x)/(2 - x)² d(2 - x)
= ∫ ln(1 + x) d[1/(2 - x)]
= [ln(1 + x)]/(2 - x) - ∫ 1/(2 - x) · d[ln(1 + x)]，分部积分法
= [ln(1 + x)]/(2 - x) - ∫ 1/[(2 - x)(1 + x)] dx
= [ln(1 + x)]/(2 - x) - (1/3)∫ [(2 - x) + (1 + x)]/[(2 - x)(1 + x)] dx
= [ln(1 + x)]/(2 - x) - (1/3)∫ [1/(1 + x) + 1/(2 - x)] dx
= [ln(1 + x)]/(2 - x) - (1/3)[ln|1 + x| - ln|2 - x|] + c
= [ln(1 + x)]/(2 - x) - (1/3)ln| (1 + x)/(2 - x) | + c

若上限是1，下限是0，则定积分
∫(0→1) ln(1 + x)/(2 - x)² dx
= [ln(1 + 1)]/(2 - 1) - (1/3)ln[ (1 + 1)/(2 - 1) ] - { [ln(1 + 0)]/(2 - 0) - (1/3)ln[ (1 + 0)/(2 - 0) ] }
= (1/3)ln(2)

这几个式子都是用麦克劳林公式推导出来的

麦克劳林公式 是泰勒公式（在x0=0下）的一种特殊形式。
　　若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于x多项式和一个余项的和：
　　f(x)=f(0)+f(0)x+x^2 f(0)/2 +x^3 f(0)/3+……+x^n f(n)(0)/n+rn
其中rn是公式的余项，即高阶无穷小，如佩亚诺(peano)余项rn(x) = o(x^n)等表示方法，
而f(n)(0)则表示f(x)的n阶导数在x=0时的取值，

通过这个式子很容易得到
当f(x)=cosx时，其n阶导数为cos(x+πn/2)
如题当n取到4次时，
f(x)=cos0 + cos(π/2) x + cos(π) x^2 /2+cos(3π/2) x^3 /3+cos(2π) x^4 /4+rn
显然cos(π/2)=cos(3π/2)=0，而cos0=cos(2π)=1，cos(π)= -1，
代入即可以得到f(x)=1- x^2 /2 + x^4 /4+rn，
于是得到了证明。

同理可以用这种方法得到
ln（1+x）~x - x^2/2 +x^3/3 -x^4/4+……+(-1)^n x^n /n +rn
e^x~1+ x +x^2/2+……x^n/n +rn

这是二重积分，要确定积分上下限。
积分区域的图形知道吧？是闭环域。
换成极坐标后，角度θ从0积到2∏，r从1积到2。
表达式为∫dθ∫lnr^2 rdr，注意要写积分上下限。
然后算2个定积分就行了。