文同学
考研数学里3阶矩阵有3各不同特征值，这能推出什么结论？
老师，题目说a是3阶矩阵有3各不同特征值，这能推出什么结论，和秩有怎样的关系呢，这里想不过来
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来自 文同学 的提问
2021-10-26 08:50:11 阅读10844
文同学：
矩阵的特征值各不相同 ， 则一定可以对角化
因此 ， 此时矩阵有多少个非 0 特征值 ， 秩就等于多少
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其他回答
毛同学
如果一个矩阵和它的转置相乘为单位矩阵，这个矩阵是什么矩阵？
夏老师
正交矩阵。当然，仅仅是指方阵而言。
正交矩阵的特点：行列式的绝对值是1，行和列都是与矩阵阶数相同维数的向量空间的标准正交基，作为线性变换不改变长度和内积，等等。
正交矩阵的特点：行列式的绝对值是1，行和列都是与矩阵阶数相同维数的向量空间的标准正交基，作为线性变换不改变长度和内积，等等。
巫同学
如何用计算器求矩阵特征值用的是一般的科学计算器
C老师
一般来说这些功能还是不太够用.
求矩阵的a特征值 关键还是要求特征多项式det(λe-a) 再解代数方程.
但是计算器大概没有计算带变量的矩阵的行列式的功能 所以没办法直接进行.
不过由于特征多项式的系数可以用矩阵的一些运算表示 所以阶数较小时还有办法.
查了一下 该计算器只能处理4阶以下的矩阵 所以这里也只写4阶以下的结果.
如果a是1阶矩阵 易见特征值就是a本身.
如果a是2阶矩阵 特征多项式可以写为λ²-tr(a)λ+det(a).
如果a是3阶矩阵 特征多项式可以写为λ³-tr(a)λ²+tr(a)λ-det(a).
如果a是4阶矩阵 特征多项式可以写为λ⁴-tr(a)λ³+cλ²-tr(a)λ+det(a) 其中c = (tr(a)²-tr(a²))/2.
只需使用矩阵运算求出各系数 再求相应特征多项式的根即可.
求矩阵的a特征值 关键还是要求特征多项式det(λe-a) 再解代数方程.
但是计算器大概没有计算带变量的矩阵的行列式的功能 所以没办法直接进行.
不过由于特征多项式的系数可以用矩阵的一些运算表示 所以阶数较小时还有办法.
查了一下 该计算器只能处理4阶以下的矩阵 所以这里也只写4阶以下的结果.
如果a是1阶矩阵 易见特征值就是a本身.
如果a是2阶矩阵 特征多项式可以写为λ²-tr(a)λ+det(a).
如果a是3阶矩阵 特征多项式可以写为λ³-tr(a)λ²+tr(a)λ-det(a).
如果a是4阶矩阵 特征多项式可以写为λ⁴-tr(a)λ³+cλ²-tr(a)λ+det(a) 其中c = (tr(a)²-tr(a²))/2.
只需使用矩阵运算求出各系数 再求相应特征多项式的根即可.
S同学
求矩阵最大特征根。权重向量。急！
孟老师
我用matlab算的，本征值和对应的本征向量分别为为
h1=5.0900
x1=[-0.2978-0.9218 -0.1970 -0.1066 -0.1066]
h2=-0.0327 + 0.6750i
x2=[-0.0658-0.2764i0.9503 -0.1016+0.0436i-0.0176 + 0.0404i-0.0176 + 0.0404i]
h3=-0.0327 - 0.6750i
x3=[-0.0658+0.2764i0.9503 -0.1016-0.0436i-0.0176 - 0.0404i-0.0176 + 0.0404i]
h4=-0.0246
x4=[-0.0909 0.8927 0.3912 -0.1446 -0.1446]
h5=0
x5=[0 0.0000 0.0000 -0.7071 0.7071]
这里有两个复数根，若只在实数空间考虑问题的话，那么最大的特征根为第一个。另注：这里的求解为数值求解，有一定的精度差，我算过了，非常小，应该可以忽略。
h1=5.0900
x1=[-0.2978-0.9218 -0.1970 -0.1066 -0.1066]
h2=-0.0327 + 0.6750i
x2=[-0.0658-0.2764i0.9503 -0.1016+0.0436i-0.0176 + 0.0404i-0.0176 + 0.0404i]
h3=-0.0327 - 0.6750i
x3=[-0.0658+0.2764i0.9503 -0.1016-0.0436i-0.0176 - 0.0404i-0.0176 + 0.0404i]
h4=-0.0246
x4=[-0.0909 0.8927 0.3912 -0.1446 -0.1446]
h5=0
x5=[0 0.0000 0.0000 -0.7071 0.7071]
这里有两个复数根，若只在实数空间考虑问题的话，那么最大的特征根为第一个。另注：这里的求解为数值求解，有一定的精度差，我算过了，非常小，应该可以忽略。
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