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CFA知识点辅导——quantitative

来源：高顿网校 2015-09-16

　　今天的内容有点复杂，把前期PV， FV，Discount back 有好好看过的朋友应该问题不大。

　　由于退休金的储存，可能会经过各种各样的人生阶段.... 而且每一笔的存款都可能是不等额的。所以，我们要做多次的discount back。

　　事情是这样的...

　　某人，他35岁，想在30年后（就是65岁）的时候退休。

　　他觉得每年要从退休金账户里取 75000元。

　　这笔钱是从31年后（就是他66岁时）开始取，一直取25年。

　　他账户里目前有10000，从今年开始，他以后10年，每年存5000.

　　反正各种原因，他在孩子毕业前每年不能存超过5000

　　那从10年后算起，他每年要存多少才能满足他退休后每年拿75000

　　假设年化收益率是8%

　　这个题目其实是类似分段函数的，看起来听复杂的，但思路理清就好了。

　　首先，我们要看看现金流(cash flow)，在这个 case中有哪些：

　　a. 他目前已经有了10000的存款

　　b. 他从现在开始的10年内，每年存5000

　　c. 求的是从11年开始到30年这段时间，他要存多少(X) 满足以后每年取75000的要求

　　d.从31年开始到55年（文中说的退休后25年），每年取75000

　　那这样所有条件就都满足啦。我们有一个很明确的思路：

　　就是上面的a+b+c = d

　　意思就是各个2个已知的存款加一个未知的存款额，等于d总额。

　　如果相等的话，那每年就可以去这笔钱了。

　　但这里，我们为了要让数值可比，所以，我们一定要把所有数值放在同一个时间维度上：

　　我们开始解题： r=0.08

　　a： FV = PV *(1 + r)^N = ($10,000)*(1.08)^30 = $100,627

　　意思就是 *9笔10000的存款在，30年后的价值 100,627

　　b. FV annuity factor = ((1 + r)^N – 1)/r = ((1.08)^10 – 1)/0.08

　　=14.48656

　　由于是 $5000的存款, FV (annuity) = ($5000)*(14.48656) = $72,433

　　注意：公式中红字10，代表的是这笔钱在10年后的价值为72433 。但是我们要求的是 30年后的价值，所以，我们要补上20年，凑满30年。

　　FV = PV *(1 + r)^N = 72,433 *( 1.08^20)

　　=337,606

　　然后c是未知的，我们设成X

　　先算d，昨天提到的PV公式

　　cash PV annuity factor = (1 – (1/(1 + r)^N)/r = (1 – (1/(1.08)^25/0.08 =

　　10.674776)

　　但是，我们每年要取$75,000, 所以PV (annuity) = ($75,000)*(10.674776) =$800,608.

　　也就是说，我们至少要800,608才能让收支平衡。

　　这个等式为： 100,627 + 337,606 + X = 800,608

　　在时间点为第30年的时候， X=362,375

　　我们用这公式

　　FV=FV factor * 每次存的钱

　　FV=362,375

　　FV factor=((1 + r)^N – 1)/r = ((1.08)^20 – 1)/.08 = 45.76196

　　那每年存的钱就是：

　　X*45.76196 = 362,375

　　X=7919

　　那就是说，他从第11年开始，到第30年，每年要存7919。到他退休后，每年就能取75000了。

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