期货从业资格考试综合辅导之久期模型的发展

　　1) 修正久期
　　从上面的讨论中可知：对于给定的到期收益率的微小变动，债券价格的相对变动与其 Macaulay久期成比例。当然，这种比例关系只是一种近似的比例关系，它的成立是以债券的到期收益率很小为前提的。为了更精确地描述债券价格对于到期收益率变动的灵敏性，又引入了修正久期模型（Modified Duration Model）。修正久期被定义为：
　　从这个式子可以看出，对于给定的到期收益率的微小变动，债券价格的相对变动与修正久期之间存在着严格的比例关系。所以说修正久期是在考虑了收益率项 y 的基础上对 Macaulay 久期进行的修正，是债券价格对于利率变动灵敏性的更加精确的度量。
　　2) 有效久期
　　在Macaulay久期模型研究中存在一个重要假设，即随着利率的波动，债券的现金流不会发生变化。然而这一假设对于具有隐含期权的金融工具，如按揭贷款、可赎回(或可卖出)债券等而言则很难成立。因此，Macaulay久期模型不应被用来衡量现金流易受到利率变动影响的金融工具的利率风险。针对Macaulay久期模型这一局限，FrankFabozzi提出了有效久期的思想。所谓有效久期是指在利率水平发生特定变化的情况下债券价格变动的百分比。它直接运用不同收益率变动为基础的债券价格进行计算，这些价格反映了隐含期权价值的变动。其计算公式为：
　　其中：
　　利率下降x个基点时债券价格；
　　利率上升x个基点时债券价格；
　　初始收益率加上x个基点；
　　初始收益率减去x个基点；
　　债券初始价格；
　　有效久期不需要考虑各期现金流的变化情况，不包含利率变化导致现金流发生变化的具体时间，而只考虑利率一定变化下的价格总体情况。因此，有效久期能够较准确地衡量具有隐含期权性质的金融工具的利率风险。对于没有隐含期权的金融工具，有效久期与Macaulay久期是相等的。
　　随着对久期模型研究的不断深入，相继有人提出了方向久期、偏久期、关键利率久期、近似久期以及风险调整久期等新的久期模型，把利率的期限结构、票息率的改变以及信用风险、赎回条款等加入到模型里面，使久期模型得到了进一步的发展。
　　3) 债券组合久期
　　债券投资组合也有相应的久期概念，其久期为单个久期的加权平均，可以用下面的公式进行计算：
　　其中 为单个债券 在组合中的权重。