2014年期货从业资格考试知识点预习：二项分布期权定价模型

　　针对布－肖模型股价波动假设过严，未考虑股息派发的影响等问题，考克斯、罗斯以及罗宾斯坦等人提出了二项分布期权定价模型(binomial option pricing model-bopm)，又称考克斯－罗斯－罗宾斯坦模型〔（１）ｅ〕。
　　该模型假设：
　　*9，股价生成的过程是几何随机游走过程(geometric random walk)，股票价格服从二项分布。与布－肖模型一样，在bopm模型中，股价的波动彼此独立且具有同样的分布，但这种分布是二项分布，而非对数正态分布。也就是说，把期权的有效期分成n个相等的区间，在每一个区间结束时，股价将上浮或下跌一定的量，从而：令snj代表第n个区间后的股价，其间假定股价上浮了j次，下跌了(n-j)次。
　　第二，风险中立(risk-neutral economy)。由于连续交易机会的存在，期权的价格与投资者的风险偏好无关，它之所以等于某一个值，是因为偏离这一数值产生了套利机会，市场力量将使之回到原先的水平。
　　（一）单区间情况下买方期权的定价
　　假设股票现价为s[0]，一个区间后买方期权到期，那时股价或者上升为s[11]或者下降为s[10]即，根据风险中立的假设，任何一种资产都应当具有相同的期望收益率，否则就会发生套利行为。也就是说此时无风险债券、股票及买方期权的将来价值满足如下关系
　　上式中，q表示的是股票价格上涨的概率，因而期权的价格乃相当于其预期价格的贴现值。
　　（二）多区间情况下的买方期权定价
　　上述分析可以进一步推广到n个区间的买方期权价格的确定。首先，需计算出买方期权价格的预期值，假设在n个区间里，在股价上涨k次前，买方期权仍然是减值期权，内在价值仍为０，而k次到n次之间，它具有内在价值，
　　（三）派发股息时买方期权的定价
　　先前的分析没有考虑股息的存在，假定某种股票每股在t时将派发一定量的股息，股息因子为f，除息日与付息日相同，则在除息日股价将会下降相当于股息的金额fs[t]。
　　对于美式期权，则需考虑提前执行的情况：在t时若提前执行，其价格等于内在的价值；不执行，则可按前面的推导得到相应的价格。最终t时的价格应当是提前执行与不提前执行情况下的*5者。
　　（四）卖方期权的定价
　　根据欧洲期权的平价关系，可直接从其买方期权导出卖方期权价格，而美国期权则不能。利用上述推导美国买方期权价格的方法，可以同样得到：
　　这就是美国卖方期权的定价公式。从上述bopm模型的推演中可看出其主要特点：
　　１．影响期权价格的变量主要有基础商品的市价(s)，期权协定价格(x)，无风险利率(r)，股价上升与下降的因子(u,d)，以及股息因子(f)及除息次数。事实上u与d描述的是股价的离散度，因而与布－肖模型相比，bopm所考虑的主要因素与前者基本相同，但因为增加了有关股息的讨论，因而在派发股息的期权及美国期权的定价方面，具有优势。
　　２．根据二项分布的特点，bopm模型中只要对u与d及p作出适当的界定，它就可以回答跳动情况下的期权的定价问题。这是布－肖模型所不能够的。同时，当n达到一定规模后，二项分布趋向于正态分布，只要u、d及p的选择正确，bopm模型会逼近布－肖模型。
　　与布－肖模型一样，二项分布定价模型也被推广到外汇、利率、期货等的期权定价上，受到理论界与实业界的高度重视。