tanx=x+x^3/3+2x^5/15+17x^7/315+62x^9/2835+...+[2^(2n)(2^(2n)-1)b(2n-1)x^(2n-1)]/(2n)+......(|x|<π/2)。

泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。

泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒。他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式，尽管1671年詹姆斯·格雷高里已经发现了它的特例。拉格朗日在1797年之前，最先提出了带有余项的现在形式的泰勒定理。

扩展资料：

泰勒展开式的重要性体现在以下五个方面：

1、幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。

2、一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的解析函数，并使得复分析这种手法可行。

3、泰勒级数可以用来近似计算函数的值，并估计误差。

4、证明不等式。

5、求待定式的极限。

常用泰勒展开公式如下：

1、e^x = 1+x+x^2/2+x^3/3+……+x^n/n+……

2、ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)(x^k)/k(|x|<1)

3、sin x = x-x^3/3+x^5/5-……+(-1)^(k-1)(x^(2k-1))/(2k-1)+……。(-∞<x<∞)

4、cos x = 1-x^2/2+x^4/4-……+(-1)k(x^(2k))/(2k)+…… (-∞<x<∞)

5、arcsin x = x + 1/2x^3/3 + 13/(24)x^5/5 + ……(|x|<1)

6、arccos x = π - ( x + 1/2x^3/3 + 13/(24)x^5/5 + …… ) (|x|<1)

7、sinh x = x+x^3/3+x^5/5+……+(-1)^(k-1)(x^2k-1)/(2k-1)+…… (-∞<x<∞)